salut. aidez moi svp. Soient (Un) et (Vn) deux suites réelles définies par U0= 1, V0= -1 et pour tout entier naturel n: Un+1=5Un-4Vn Vn+1=2Un-Vn 1) On pose la m
Mathématiques
imaniesalim61
Question
salut. aidez moi svp.
Soient (Un) et (Vn) deux suites réelles définies par U0= 1, V0= -1 et pour tout entier naturel n:
Un+1=5Un-4Vn
Vn+1=2Un-Vn
1) On pose la matrice A=(5,-4 ;2,-1) et Xn=(Un ; Vn)
vérifier que pour tout entier naturel n' Xn+1=AXn,
puis montrer par récurrence que Xn= A^n.X0
2)
Soient P et Q les matrices P=(1,2;1,1) et Q=(x,y;z,t) ou x,y,z et sont des réels..
Déterminer x,y,z et t tels que P*Q=I2.
Vérifier que PQ=I2
3) Soient D la matrice diagonale D=(1,0 ;0,3)
-Calculer PDQ
-Exprimer D^n en fonction de n
-En déduire une expression de A^n en fonction de n
Soient (Un) et (Vn) deux suites réelles définies par U0= 1, V0= -1 et pour tout entier naturel n:
Un+1=5Un-4Vn
Vn+1=2Un-Vn
1) On pose la matrice A=(5,-4 ;2,-1) et Xn=(Un ; Vn)
vérifier que pour tout entier naturel n' Xn+1=AXn,
puis montrer par récurrence que Xn= A^n.X0
2)
Soient P et Q les matrices P=(1,2;1,1) et Q=(x,y;z,t) ou x,y,z et sont des réels..
Déterminer x,y,z et t tels que P*Q=I2.
Vérifier que PQ=I2
3) Soient D la matrice diagonale D=(1,0 ;0,3)
-Calculer PDQ
-Exprimer D^n en fonction de n
-En déduire une expression de A^n en fonction de n
1 Réponse
-
1. Réponse slyz007
3
[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right] [/tex]
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&6\\1&3\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}5&-4\\2&-1\\\end{array}\right] [/tex]
Donc PQD=A
D est une matrice diagonale, on démontre que D^n=(1;0;0;3^n)
Pour n=1, on a bien D=(1;0;0;3^1) c'est vrai au rang 1
Supposons qu'on ait n tel que D^n=(1;0;0;3^n)
Alors D^(n+1)=D*D^n soit :
[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]*\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&3^{n+1}\\\end{array}\right] [/tex]
Donc D^n=(1;0;0;3^n)
A=PDQ
Donc A^n=(PDQ)^n=(PDQ)*(PDQ)*(PDQ)*...*(PDQ)*(PDQ) (n fois)
A^n=PD*QP*D*QP*D*QP*....*QP*DQ
Or d'après la question 2, PQ=QP=I2
donc PD*QP=PD, D^k*QP=D^k et QP*DQ=DQ
On en déduit que (PDQ)^n=P*D^n*Q
Donc
[tex]A^{n}=\left[\begin{array}{ccc}2*3^{n}-1&2-2*3^{n}\\3^{n}-1&2-3^{n}\\\end{array}\right] [/tex]