Bonjour, est ce que quelqu'un peux m'expliquer en quoi la fonction exponentielle est unique dans la démonstration de l'unicité sur la fonction exponentielle.

voici une démonstration
la fonction exponentielle ( exp)   est définie  par  exp'(x) = exp(x)  et  exp(0)=0
supposons  qu'elle ne soit pas  unique  et qu'il existe une autre fonction  f telle que

f '(x) = f(x)  et  f(0)= 1

on prouve que ce n'est pas   possible 

notons   g(x) =  f(x)  / exp(x)         g(0)=f(0)/exp(0)   =   1/1   = 1

g '(x)=  [  f '(x) *exp(x)  - exp'(x)  * f(x) ]  / [ exp(x) ]² = 0   car  f'(x ) =f(x)  et exp'(x) =exp(x) 

 g'(x) = 0  donc   g(x)  est  une  constante   g(x) = k    mais  comme  g(0)= 1

on  a  forcément  k = 1                  ce qui entraîne  f(x) / exp(x)  = 1
donc  f(x) = exp(x)     f n'est  pas différente de exp