bonsoir j'ai besoin d'aide pour un dm de math de termS : je ne comprends pas du tout On dispose de deux jetons A et B que l’on peut placer dans deux cases C0 et
Mathématiques
clementtourneux
Question
bonsoir j'ai besoin d'aide pour un dm de math de termS : je ne comprends pas du tout
On dispose de deux jetons A et B que l’on peut placer dans deux cases C0 et C1 et d’un dispositif permettant de tirer
au hasard et de manière équiprobable l’une des lettre a, b ou c. Au début de l’expérience, les deux jetons sont placés
dans C0 : on procède alors à une série de tirages indépendants de l’une des trois lettres a, b ou c. A la suite de chaque
tirage, on effectue l’opération suivante :
• si la lettre a est tirée, on change le jeton A de case,
• si la lettre b est tirée, on change le jeton B de case,
• si la lettre c est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On note, pour tout n ≥ 1 :
An l’événement « le jeton A se trouve dans C0 à l’issue de la n-ième opération »
Bn l’événement « le jeton A se trouve dans C1 à l’issue de la n-ième opération »
1. Pour tout n ∈ N, on note Jn l’évènement : "à l’issue de la n
ième opération, le jeton A n’a jamais
quitté la case C0".
(a) Exprimer les évènements J0, J1, J2 et J3 en fonction des évènements Ak et Bk, k ∈ N.
(b) Déterminer les probabilités P(J0), P(J1), P(J2) et P(J3).
(c) Soit n ∈ N. Déterminer la probabilité P(Jn).
2. Pour tout k ∈ N
∗
, on s’intéresse à l’évènement Dk : "à l’issue de la k
ième opération, le jeton A
revient pour la première fois dans C0" et on pose D0 = ∅.
(a) Calculer les probabilités P(D0), P(D1), P(D2), P(D3) et P(D4).
(b) Soit n ∈ N. Exprimer l’évènement Dn en fonction des évènements Ak et Bk, k ∈ N. En déduire
la probabilité P(Dn).
4. Pour tout n ∈ N, on pose : Xn =
P(An)
P(Bn)
.
(a) Donner l’énoncé général de la formule des probabilités totales. En déduire une matrice Q telle
que, pour tout n ∈ N : Xn+1 = QXn.
(b) Exprimer Q en fonction de M. En déduire Qn puis Xn en fonction de n ∈ N.
(c) Déterminer P(An) et P(Bn) en fonction de n ∈ N, puis lim n→+∞
P(An) et lim n→+∞
P(Bn). Interprétation
?
merci d'avance
On dispose de deux jetons A et B que l’on peut placer dans deux cases C0 et C1 et d’un dispositif permettant de tirer
au hasard et de manière équiprobable l’une des lettre a, b ou c. Au début de l’expérience, les deux jetons sont placés
dans C0 : on procède alors à une série de tirages indépendants de l’une des trois lettres a, b ou c. A la suite de chaque
tirage, on effectue l’opération suivante :
• si la lettre a est tirée, on change le jeton A de case,
• si la lettre b est tirée, on change le jeton B de case,
• si la lettre c est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On note, pour tout n ≥ 1 :
An l’événement « le jeton A se trouve dans C0 à l’issue de la n-ième opération »
Bn l’événement « le jeton A se trouve dans C1 à l’issue de la n-ième opération »
1. Pour tout n ∈ N, on note Jn l’évènement : "à l’issue de la n
ième opération, le jeton A n’a jamais
quitté la case C0".
(a) Exprimer les évènements J0, J1, J2 et J3 en fonction des évènements Ak et Bk, k ∈ N.
(b) Déterminer les probabilités P(J0), P(J1), P(J2) et P(J3).
(c) Soit n ∈ N. Déterminer la probabilité P(Jn).
2. Pour tout k ∈ N
∗
, on s’intéresse à l’évènement Dk : "à l’issue de la k
ième opération, le jeton A
revient pour la première fois dans C0" et on pose D0 = ∅.
(a) Calculer les probabilités P(D0), P(D1), P(D2), P(D3) et P(D4).
(b) Soit n ∈ N. Exprimer l’évènement Dn en fonction des évènements Ak et Bk, k ∈ N. En déduire
la probabilité P(Dn).
4. Pour tout n ∈ N, on pose : Xn =
P(An)
P(Bn)
.
(a) Donner l’énoncé général de la formule des probabilités totales. En déduire une matrice Q telle
que, pour tout n ∈ N : Xn+1 = QXn.
(b) Exprimer Q en fonction de M. En déduire Qn puis Xn en fonction de n ∈ N.
(c) Déterminer P(An) et P(Bn) en fonction de n ∈ N, puis lim n→+∞
P(An) et lim n→+∞
P(Bn). Interprétation
?
merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse laurance
J'essaie de t'aider pour les questions 1) et 2) je ne vois pas de 3) et la 4) l'énoncé est incomplet
déjà une remarque : on parle au début de 2 jetons A et B mais dans les deux premières questions tout au moins il n'est question que du jeton A
et les notations ne simplifient pas la compréhension
attention donc !
il s'agit d'une épreuve à deux issues (Bernouilli) répétée plusieurs fois
( c'est bien de faire un arbre)
de A0 partent 2 branches vers A1 et B1 ; de A1 deux branches vers A2 ou B2
pareil pour B2 ; sur chaque branche "A" la probabilité est ( 2/3 : pour une lettre b ou c ) sur chaque "B" c'est 1/3 ( tirage de la lettre a )
¨1° ) J0 = A0 p(J0) = 1
J1= A0 et A1 p(J1)= 2/3 (tirage des lettres b ou c)
J2=A0 et A1 et A2 p(J2)= ( 2/3)² ( 2 fois tirage des lettres b ou c)
J3=A0 et A1 et A2 et A3 p(J3)=(2/3)³ ( 3 fois """ )
je ne vois pas d'évènement B pour les J car B correspond à A est dans C1 or
J c'est " le jeton A ne quitte pas C0"
et on peut continuer ainsi
Jn=A0et A1....et An p(Jn)=(2/3)^n
2°) D0 = Ф p(D0)= 0 donc
pour moi D1 =Ф aussi puisqu'à l'étape 1 le jeton A ne peut pas REVENIR dans C0: ou bien il y reste ou bien il le quitte et p(D1)= 0
D2 = A0 et B1 et A2 ( premier tirage :a deuxième : b ou c)
p(D2)= ( 1/3) x (2/3) = 2/9
D3=( A0 et A1 et B2 et A3) ( 1er tirage :b ou c; 2ième :a ; 3ieme : a )
ou ( A0 et B1 et B2 et A3) (1er tirage : a ; 2ieme b ou c ; 3 -ieme :a)
p(D3)= ( 2/3 ) x (1/3 )x (1/3) + (1/3) x (2/3 ) x (1/3) = 4 /27
D4 = A0 et B1 et B2 et B3 et A4 ou A0 et A1 et B2 et B3 et A4 ou
A0 et A1 et A2 et B3 et A4
pour les lettre c'est toujours 2 fois a et fois b ou c
p(D4)= 3 x (1/3)² x(2/3)² = 4/27
Dn=A0et B1etB2 ....et Bn-1 et An OU A0et A1etB2 ....et Bn-1 et An OU
A0et A1etA2 ....et Bn-1 et An etc.......OU A0et A1etA2 ....et An -2 et Bn-1 et An
de toutes façons pour les lettres il y aura forcément deux fois le a ( un pour quitter C0 et un pour y revenir et les autres fois b ou c
p(Dn)= (n -2) x (1/3)² x (2/3)^(n-2) sauf pour D0 et D1