Mathématiques

Question

Bonjour à tout le monde !
Je suis bloqué dans la dernière question de l'exercice suivant, pouvez-vous m'aider ?

ABCD est un carré. Les points M et N sont tels que vecAM = (3/4)AB(vec) et vecCN = (4/3)CB vec
1) Démontrer que les points D,M et N sont alignés.
2) Démontrer que les points sont alignés si vecAM = (5/3)AB (vec) et vecCN = (3/5)CB (vec)

J'ai réussi sans problèmes ces deux questions. Mais je bloque à celle-ci :
3) On considère un nombre réel a non nul, et M et N définis par vecAM = aAB (vec) et vecCN= (1/a)CB (vec). Les points D, M et N sont-ils toujours alignés ? Démontrer.

J'ai réussi à obtenir la réponse suivante, mais je ne trouve pas quel intérêt cette dernière m'apporte : - (1/a)DM = AB + (1/a)CB
- DN = AB + (1/a)CB
Merci d'avance pour votre aide !

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1 Réponse

  • on va se servir des vecteur DM et DN, 
    si on démontre que DM = k DN => les vecteurs sont colinéaires et
     les points D,M,N sont alignés (théorème)
    comme ABCD est un carré on a les vecteurs
    DA = CB     et  DC = AB
    (tout est en vecteurs, je ne mets pas les flèches)
    DM = DA +AM   relation de chasles
    DN = DA +AN

    on sait d'après l'énoncé que 
    AM = aAB
    CN = 1/a CB   =>  CB = aCN

    comme DA =CB  et  DC = AB on peut remplacer

    DM  = a CN + a AB  
    DN=  AB +CN 

    DM= a( AB+CN)

    donc on a
    DM = a CN
    d'après le théorème de la colinéarité , les points D;M;N sont alignés

    ( n'oublie pas les flèches sur les vecteurs)

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