salut j'ai un petit problème en cet exercice: x appartient à l'ensemble N , montrer que (3^2n) + (2^6n+5) = 11k
Mathématiques
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Question
salut
j'ai un petit problème en cet exercice:
x appartient à l'ensemble N , montrer que (3^2n) + (2^6n+5) = 11k
j'ai un petit problème en cet exercice:
x appartient à l'ensemble N , montrer que (3^2n) + (2^6n+5) = 11k
1 Réponse
-
1. Réponse laurance
voyons pour n = 1
3² = 9
2^11 = 2048 9+2048 = 2057 = 11*187 c'est donc vrai pour n =1
on va essayer de montrer que si c'est vrai pour n c'est vrai pour n+1
donc si
3^(2n) = 11k - 2^ (6n+5)
alors
3^(2n+2) = 11p - 2^(6n + 6 +5) = 11 p - 2^(6n+11)
or 3 ^(2n+2) = 3^(2n) * 3^2 = 99k - 9*2^(6n+5)
2^11 = 2^5 * 2^6
2^6 = 64 et -9 = -64 + 55
3^(2n+2) = 99k + ( -64 +55) *2^(6n+5)
= 99k -(2^6)*2^(6n+5) +55*2^(6n+5)
= 99k - 2^(6n+11) + 55*2^(6n+5)
on en déduit que
3^(2n+2) = 11[ 9k + 5*2^(6n+5)] - 2^(6n+11)
p = 9k + 5*2^(6n+5)
fin de la démonstration par récurrence