DM MATHS Bonjour, J'ai besoin de votre aide pour mon DM ( que j'ai mis en pièce jointe) ; je bloque a partir de la question 2)c jusqu'à la fin Merci a tout ceux

111 =  3* 37           

supposons que  10^n -1  soit  multiple de  9 

alors  10^n -1   = 9k     où   k est  un nombre entier et   alors  10^n = 9k +1

10(10^n) = 90k + 10    donc      10(10^n)   -1 = 90k +9 
ceci montre que  si  10^n  -1  est  un multiple de  9   alors 
10^(n+1)    -1      est aussi    multiple de 9
or pour n=1    10 ^1  -1 = 9  est bien un multiple de 9

par récurrence  :  10^n  -1   est toujours multiple de 9  
conclusion    (10^n  -1) /9   est  un nombre entier naturel

(a-b)(a² +ab + b²) = a^3  + a²b +ab² - a²b - ab²  - b^3     =  a^3  -  b^3  
posons  a = 10^n         b =1         a^3 = 10^(3n)      b^3 = 1^3  = 1
d'où    (10^(3n)    -   1 )= (10^n     -  1)( 10^(2n)   +10^n  +  1) 
ceci prouve que   10^(3n)  -  1  est divisible par    10^n   -  1
10^(3)  -1  = 1000 -1 = 999 = 9 *u(3) 
10^1 -1 = 9 = 9*u(1)

10^6  -1 = 1 000 000 -1 = 999 999 = 9u(6) 
10^2 -1 = 99 = 9u(2) 
donc   généralement    10^(3n) - 1 =  9u(3n ) et  10^n -1 = 9u(n)

comme   10^(3n)  -1   est divisible  par  10^n  -1   ceci revient  à dire que
9*u(3n)  et  divisible  par  9*u(n) 
d'où   u(3n)   est  divisible  par   u(n)  

dans  10^(2n)  +  10 ^(n)  +  1   il y a  trois 1   et les autres chiffres sont des zéros
n=1    100 +10 +1  = 111
n=2    10000 +100 +1  = 10101   etc ..

en tous cas  la somme des chiffres est 3
donc ce nombre est divisible par 3  :   10^(2n)  + 10^(n)  + 1 =  3k

de  ( 10^(3n) - 1)  = (10^n  -  1)(10^(2n)  + 10^n + 1 )
on déduit
9* u(3n) =  9*u(n) *  3 k     puis    u(3n) = u(n) * 3 k
montre que     u(3n) est divisible par 3u(n) 

 on sait que  u(1)  a  3 chiffres 1 et qu'il est divisible  par  3 
u(3) = u(1) * 3k
u(3²) = u(3*3)   est donc divisible par   3u(3)  donc par  9u(1)
or  u(9)  a  9 chiffres 1 et est bien divisible par 9
u(3^3) = u(3²3)  est donc divisible par  3u(9)   donc par  27u(1)
u(27)  a  27 chiffres  1 et est divisible par 27 
etc...
il y en a une infinité