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Question

bonjour j'ai besoin de l'aide merci beaucoup.
d'apres le theoreme de varignon,
ABCD est un quadrilatere.
I,J,K,L sont les milieux respectifs des cotes [AB], [BC], [CD], [DA].
on se propose d'etudier la nature du quadrilatère IJKL selon le quadrilatère ABCD.
1a) d'apres la figure, conjecturer la nature du quadrilatere IJKL.
1b)semble-t-il que l'on puisse choisir le quadrilatère ABCD de façon que IJKL soit un rectangle?un losange? un carre?
2a) demontrer que les droites (IJ) et (KL) sont parallèles, puis qu'il en est de meme des droites (IL) et (JK). En déduire la nature du quadrilatère IJKL.
2b) on suppose que ABCD est un rectangle. quelle est alors la nature de IJKL? justifier.
2c) on suppose que ABCD est un losange. quelle est alors la nature de IJKL? justifier.
2d) Quelle est la nature de IJKL lorsque ABCD est un carre? justifier.

p-s : la figure est en piece jointe mais il y a juste une modification par rapport aux lettres. le quadrilatere a l'interieur c'est IJKL et non pas MNPQ

merci d'avance
bonjour j'ai besoin de l'aide merci beaucoup. d'apres le theoreme de varignon, ABCD est un quadrilatere. I,J,K,L sont les milieux respectifs des cotes [AB], [BC

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1 Réponse

  • Bonsoir,

    ABCD est un quadrilatere.
    I,J,K,L sont les milieux respectifs des cotes [AB], [BC], [CD], [DA].
    on se propose d'étudier la nature du quadrilatère IJKL selon le quadrilatère ABCD.
    1)
    a) D'après la figure, conjecturer la nature du quadrilatère IJKL
    Dans le triangle ABC, I est milieu du segment [AB] et J est milieu du segment [BC].
    D'après le théorème de la droite des milieux, (AC) // (IJ)  et IJ = AC/2.
    (BD) // (JK)  et JK = BD/2
    (CA) // (KL) et KL = CA/2
    (DB) // (LI)  et LI = DB/2
    Donc d'après (AC) // (IJ) et (CA) // (KL), on peut en déduire que  (IJ) et (KL) sont parallèles à (AC) 
    De même, d'après (BD) // (JK)  et (DB) // (LI), on peut en déduire que les droites (JK) // (LI) à la droite (BD)
    En conclusion, le quadrilatère IJKL ayant ses côtés opposés parallèles est un parallélogramme 

    1)
    b) Semble-t-il que l'on puisse choisir le quadrilatère ABCD de façon que IJKL soit un rectangle ?
    Si IJKL est un rectangle, (IJ) ⊥(JK)
    D'après (AC) // (IJ),  (AC) // (IJ), donc les droites (AC) ⊥ (JK)
    Aussi, d'après (BD) // (JK), (BD) // (JK) 
    Donc (AC) ⊥ (BD)

    Si IJKL est un rectangle, les diagonales du quadrilatère ABCD seront perpendiculaires.
    Si les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires, (AC) ⊥ (BD) Mais, d'après (AC) // (IJ),  (AC) // (IJ), et comme (AC) ⊥ (BD),  (IJ) ⊥ (BD) D'après (BD) // (JK), (BD) // (JK), et comme (IJ) ⊥ (BD),  (IJ) ⊥ (JK)
    En conclusion, le parallélogramme IJKL ayant  deux côtés perpendiculaires est un rectangle.

    Un losange ?
    Si IJKL est un losange, IJ = JK.
    D'après 'IJ) = AC/2,  JK = AC/2.
    D'après JK = BD/2, BD/2 = AC/2, donc AC = BD.
    En conclusion, si IJKL est un losange, les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur.
    Réciproquement, si les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur,  AC = BD.
    Mais, d'après  IJ = AC/2, IJ = BD/2.
    er d'après JK = BD/2,  IJ = JK.
    En conclusion, le parallélogramme IJKL ayant deux côtés consécutifs de même longueur est, par conséquent, un losange.

    Un carré ?
    Si IJKL est un carré, alors IJKL est un rectangle et  les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires, mais il est aussi un losange et donc les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur.
    Donc, si IJKL est un carré, les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires et de même longueur.
    Réciproquement, si les diagonales du quadrilatère ABCD sont perpendiculaires et de même longueur, IJKL est un rectangle, mais aussi un losange. 
    En conclusion, le quadrilatère IJKL est un rectangle et un losange et est, par conséquent, un carré.

    Pour la 2 tu procèdes de la même façon

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