bonsoir je suis actuellement en terminale S et je m'entraine pour mon ds qui sera ce mardi.je n'arrive pas a resoudre ces deux exercices, merci de bien vouloir
Mathématiques
sehpi
Question
bonsoir je suis actuellement en terminale S et je m'entraine pour mon ds qui sera ce mardi.je n'arrive pas a resoudre ces deux exercices, merci de bien
vouloir m'aider :)
je reposte ma question puisqu'il n'y a eu aucun aide..
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. i z = 1+i
2. z2 −zz +1= 0 (on pourra poser z = x +i y, avec x et y réels)
3. z4 +5z2 +4 = 0 ¡on pourra poser Z = z2¢
EXERCICE 2
Soit le polynôme P défini pour tout z ∈ C par P(z) = z3 −2(1+i )z2 +2(1+2i )z −4i .
1. Soit y un réel et z = i y un imaginaire pur. Démontrer que :
z est solution de l’équation P(z)= 0⇐⇒½−y3 +2y2 +2y −4 = 0
2y2 −4y = 0
(S).
2. Résoudre l’équation 2y2 −4y = 0, puis le système (S).
3. En déduire que l’équation P(z)= 0 admet une unique solution imaginaire pure et la déterminer.
4. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout z ∈ C, P(z)= ¡z −2i ¢¡az2 +bz +c¢.
5. En déduire les solutions dans C de l’équation P(z)= 0.
6. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; ~u;~v ). On appelle A, B et C les points dont les affixes
sont les solutions de l’équation P(z) = 0.
Déterminer la nature du quadrilatère non croisé dont les sommets sont les points A, B, C et O.
vouloir m'aider :)
je reposte ma question puisqu'il n'y a eu aucun aide..
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. i z = 1+i
2. z2 −zz +1= 0 (on pourra poser z = x +i y, avec x et y réels)
3. z4 +5z2 +4 = 0 ¡on pourra poser Z = z2¢
EXERCICE 2
Soit le polynôme P défini pour tout z ∈ C par P(z) = z3 −2(1+i )z2 +2(1+2i )z −4i .
1. Soit y un réel et z = i y un imaginaire pur. Démontrer que :
z est solution de l’équation P(z)= 0⇐⇒½−y3 +2y2 +2y −4 = 0
2y2 −4y = 0
(S).
2. Résoudre l’équation 2y2 −4y = 0, puis le système (S).
3. En déduire que l’équation P(z)= 0 admet une unique solution imaginaire pure et la déterminer.
4. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout z ∈ C, P(z)= ¡z −2i ¢¡az2 +bz +c¢.
5. En déduire les solutions dans C de l’équation P(z)= 0.
6. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; ~u;~v ). On appelle A, B et C les points dont les affixes
sont les solutions de l’équation P(z) = 0.
Déterminer la nature du quadrilatère non croisé dont les sommets sont les points A, B, C et O.
1 Réponse
-
1. Réponse laurance
1)z = 1/i +i/i = -i + 1 car 1 /i = - i
2)zzbarre ??
si oui
z = x + iy z² = x² - y² + 2ixy zz barre =x² + y²
x² -y² + 2ixy - x² -y² + 1 = 0
- 2 y² + 1 + 2i xy = 0 1 -2y² = 0 et xy = 0
x=0 et y² = 1/2 z = irac( 1/2) ou z = - irac(1/2)
3)Z=z² ⇒ Z² + 5Z + 4 =0 ⇒ (Z +1 )(Z +4 )= 0 ⇒
Z = -1 ou Z = -4 ⇒ z² = -1 ou z² = -4 ⇒
z= i ou z= -i ou z = 2i ou z = -2i
P(iy)= i^3 y^3 -2i(iy)^2 - 2(iy)^2 + 2(iy) + 4i(iy) - 4i
= -iy^3 + 2i y ² + 2 y² - 4y + 2 iy - 4 i
= ( 2 y² - 4y) + i ( - y^3 + 2 y² + 2 y - 4 )
= 0 + i(0)
2y² -4 y =0 et - y^3 + 2 y² +2y - 4 = 0
2y(y-2)= 0 et - y^3 + 2 y² +2y -4 =0
y = 0 non car -0^3 + 2*0² + 2*0 - 4 = -4
y=2 oui car -2^3 +2*2² +2*2 -4 = - 8 +8 +4 -4 = 0
P(iy)= 0 entraîne y = 2 P(2i) = 0 2 i est la solution imaginaire pure
P(z)= az^3 + bz² + cz - 2iaz² - 2biz - 2ci
d'où a = 1
b -2ai= -2 - 2i b = 2ai-2 -2i = -2
-2ci = -4i = 2 i
P(z) =(z - 2i)(z² - 2z + 2) delta = 4 -8 = -4 = (2i)²
solutions z1 = ( 2 + 2i)/2 = 1 +i z2= (2 -2i) /2 = 1 - i
P(z)= (z -2i)( z - 1 - i)(z -1 + i )
P(z)=0 a 3 solutions
2i
1+i
1-i
A( 0;2) B( 1 ;1 ) C( 1; -1 ) O ( 0; 0)
vecteur AB a pour coordonnées ( 1 ; -1)
OC ( 1 ; -1) vecteurs égaux
d'où ABCO parallèlogramme