Bonjour à tous ! Alors je bute sur un exercice qui je suis sûr est tout simple mais bon ... : Montrer que pour tout x de [ 0, +infini [ , x ≤ ln ( 1 + exp ( x )
Mathématiques
marionmissere41
Question
Bonjour à tous ! Alors je bute sur un exercice qui je suis sûr est tout simple mais bon ... :
Montrer que pour tout x de [ 0, +infini [ , x ≤ ln ( 1 + exp ( x ) ) ≤ x +
ln 2
Je sais que LN est définie sur ] 0, + infini [ et exp est définie sur R
mais je vois pas en quoi ça aide...Merci beaucoup d'avance!!
Ce que je ne comprends pas c'est par quoi commencer en fait.. je comprends
pas exactement ce qu'on doit prouver ..Je sais que 1 + exp ( x ) doit être supérieur à 0 ..
Montrer que pour tout x de [ 0, +infini [ , x ≤ ln ( 1 + exp ( x ) ) ≤ x +
ln 2
Je sais que LN est définie sur ] 0, + infini [ et exp est définie sur R
mais je vois pas en quoi ça aide...Merci beaucoup d'avance!!
Ce que je ne comprends pas c'est par quoi commencer en fait.. je comprends
pas exactement ce qu'on doit prouver ..Je sais que 1 + exp ( x ) doit être supérieur à 0 ..
1 Réponse
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1. Réponse laurance
soit f(x)=ln( 1 + exp(x) ) - x - ln2
f '(x)= exp(x) /( 1 + exp(x) ) -1 = ( exp(x) - 1 - exp(x) ) / ( 1 +exp(x) )
= - 1 / ( 1 +exp(x) ) < 0
f est donc strictement décroissante sur [ 0; + inf[ or f(0)= ln( 1 + 1) - 0 -ln2 = 0
f(x) ≤ f(0)
f(x) ≤0
ln(1 +exp(x) ) ≤ x + ln 2
d'autre part:
exp(x) ≤ exp(x) + 1
comme la fonction ln est croissante
ln[exp(x) ] ≤ ln[ exp(x) + 1 ]
donc x ≤ln( exp(x) + 1 )