Bonsoir Voici un sujet de recherche : Soit g la fonction de C \ {1} dans C définie parg(z) = 2z/ z-1Quelle est l'image par g du carré de sommets : i, −i, 2 − i,

Bonjour,
g(i) = 2i/(i-1) = 2i(i+1)/(i-1)(i+1) = 2i(i+1)/(i²-1) = 2i(i+1)/-2 = 2i²+2i / -2 =
-2+2i / -2 = 1 - i
g(-i) = 2(-i)/(-i-1) = -2i/-i-1 = -2i(-i+1) / i²-1 = 2i²-2i/-2 = -2-2i / -2 = i+1
g(2-i) = 2(2-i)/(2-i-1) = 4-2i / (1-i) = (4-2i)(-i-1) / i²-1 = -4i-4+2i²+2i / -2 =
-2i-6 / -2 = 3+i
g(2+i) = 2(2+i) / (2+i-1) = 2i+4 / (1+i) = (2i+4)(i-1)/(1+i)(i-1) = 2i²+2i-4 / -2 =
-2+2i-4 / -2 = -6+2i/-2 = 3-i
L'image par g du carré de sommet i, -i, 2-i, 2+i est le quadrilatère de sommet A(1;-1),
B(1 ; 1), C(3 ; 1) et D(3;-1).
Ici, j'ai noté les vecteurs images par des caractères gras.
Ce quadrilatère est tel que ZAB = ZB-ZA = 1+i - 1+i = 2i et ZDC = ZC-ZD = 3+i-3+i =
2i; donc AB = DC et (ABCD) est un parallélogramme.
De plus, on a ZBC = 3+i-1-i = 2 ⇒ BC = 4 et ZAB = 2i ⇒ AB = √4 = 2;
donc BC = AB et (ABCD) est un losange.
Enfin, ZAB = 2i ⇒ (AB) est perpendiculaire à l'axe des abscisses et 
ZBC = 2 ⇒ (BC) est perpendiculaire à l'axe des ordonnées ; donc (AB)et (BC) sont perpendiculaires et (ABCD) est un carré.