bonsoir, j'ai besoin d'aide pour comprendre et résoudre ce problème : Prendre 3 chiffres non nuls distincts. Ecrire tous les entiers de 3 chiffres distincts pos

Bonjour  Bch

Prendre 3 chiffres non nuls distincts.
Choisissons les nombres 1, 4  et 7

Ecrire tous les entiers de 3 chiffres distincts possibles pouvant s'écrire avec ces 3 chiffres.
147
174
417
471
714
741

En faire la somme.
147 + 174 + 417 + 471 + 714 + 741 = 2664

Diviser cette somme par 222.
2664 / 222 = 12

Soustraire au résultat la somme des 3 chiffres choisis.
La somme des chiffres choisis est 1 + 4 + 7 = 12
Soustraire au résultat la somme des 3 chiffres choisis ==> 12 - 12 = 0

Qu'obtient-on ?
On obtient 0.

Le démontrer avec 3 chiffres distincts quelconques a,b,et c.

Pour comprendre la démonstration, il est peut-être utile de regarder l'exemple.

Il y a 6 manières différentes d'écrire les nombres en utilisant a, b et c.
Chacun de ces nombres se retrouve deux fois dans les centaines, dans les dizaines et dans les unités.

En additionnant ces 6 nombres, nous obtenons une somme égale à 

[tex]2[(a\times10^2+b\times10^2+c\times10^2)+(a\times10+b\times10+c\times10)\\+(a+b+c)][/tex]

[tex]=2[(a+b+c)\times10^2+(a+b+c)\times10+(a+b+c)]\\\\=2(a+b+c)\times[10^2+10+1][/tex]

[tex]\\\\=(a+b+c)\times222[/tex]

En divisant cette somme par 222, nous avons :

[tex]\dfrac{(a+b+c)\times222}{222}=a+b+c[/tex]

En soustrayant au résultat (a+b+c) la somme des 3 chiffres choisis, nous avons :  [tex](a+b+c)-(a+b+c)=0[/tex]

La réponse finale sera donc toujours égale à 0.