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Question

on considère un triangle ABC
M,N et P sont trois points situés respectivement sur les droites (BC),(CA),(AB) et distincts des points A,B,C
on cherche à déterminer une condition nécessaire et suffisante d'alignement des points M,N et P
1) justifier l'existence d'un réel a tel que vecteur PA = a vecteur PB , d'un réel b tel que vecteur NC = bNA et d'un réel c tel que vecteur MB =cMC
2)justifier que a,b et c sont différents de 1

le plan est rapporté au repère( A; AB, AC) ( ce sont des vecteurs)

3) exprimer les coordonnées des points M,N et P en fontion de a ,b et c
4) en déduire une condition nécessaire et suffisante pour que les trois points soient alignés
on considère un triangle ABC M,N et P sont trois points situés respectivement sur les droites (BC),(CA),(AB) et distincts des points A,B,C on cherche à détermin

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1 Réponse

  • Bonsoir,
    Ici, je note les vecteurs en caractères gras.
    1)
    P, A et B alignés ⇒ Il existe un réel a tel que PA = aPB
    Il en est de même pour N, A et C; il existe un réel b tel que NC=bNA.
    Il en est de même pour M, B et C; il existe une réel c tel que MB=cMC
    2)
    Si a = 1 alors PA=PB; or aucun point P appartenant à (AB) vérifie cette égalité vectorielle; donc a ≠1.
    Même raisonnement pour b≠1 et pour c≠1.
    3)
    A(0;0); B(1;0); C(0;1).
    M∈(BC) ⇒ xB - xM = c(xC-xM) et yB - yM = c(yC-yM) ⇒
    1-xM = c(0-xM) et 0-yM = c(1-yM)⇒
    cxM-xM = -1 et cyM-yM = c ⇒ xM = -1 / (c-1) = 1 / (1-c) et yM = c / (c-1)

    N∈(AC) ⇒ xN = 0 et yC-yN = b(yA-yN) ⇒
    1-yN = b(0-yN) ⇒1-yN = -byN ⇒ byN-yN = -1 ⇒ yN = -1 / b-1 = 1 / (1-b)

    p∈(AB) ⇒ yP = 0 et xA-xP = a(xB-xP) ⇒
    0-xP = a(1-xP) ⇒ axP-xP = a ⇒ xP = a / (a-1)
    4)
    Il ne reste plus qu'à poser la CNS:
    M, N, P alignés ⇔ (xN-xM) / (xP-xM) =(yN-yM) / yP-yM) 
    A toi de poursuivre.



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