Bonjour, j'ai un exercice à faire pour lundi assez important et j'ai besoin d'aide svp: ABCD est un carré de côté 4. M,N,P,Q sont des points placés sur les côté
Mathématiques
Caberlyce
Question
Bonjour, j'ai un exercice à faire pour lundi assez important et j'ai besoin d'aide svp:
ABCD est un carré de côté 4.
M,N,P,Q sont des points placés sur les côtés du carré tels que AM=BN=CP=DQ. On s'intéresse à l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. On pose AM=x.
Déterminer en fonction de x, l'expression de l'aire du triangle rectangle AMQ. En déduire l'aire A(x) du quadrilatère MNPQ en fonction de x.
2. Par des essais avec un logiciel de géométrie, on conjecture que l'aire de MNPQ est minimale pour AM=2.
a. Calculer A(2)
b. Factoriser, à l'aide d'une identité remarquable, l'expression A(x)-8
c. Démontrer la conjecture énoncée précédemment.
Merci d'avance !
ABCD est un carré de côté 4.
M,N,P,Q sont des points placés sur les côtés du carré tels que AM=BN=CP=DQ. On s'intéresse à l'aire du quadrilatère MNPQ.
1. On pose AM=x.
Déterminer en fonction de x, l'expression de l'aire du triangle rectangle AMQ. En déduire l'aire A(x) du quadrilatère MNPQ en fonction de x.
2. Par des essais avec un logiciel de géométrie, on conjecture que l'aire de MNPQ est minimale pour AM=2.
a. Calculer A(2)
b. Factoriser, à l'aide d'une identité remarquable, l'expression A(x)-8
c. Démontrer la conjecture énoncée précédemment.
Merci d'avance !
1 Réponse
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1. Réponse raymrich
Bonjour,
1
Aire(AMQ) = x(4-x)/2
A(x) = 16-4x(4-x)/2 = 16-2x(4-x)=16-8x+2x²= 2(x²-4x+8)
2
a
A(2) = 2(4-8+8) = 8
b
A(x) - 8 = 16-8x+2x²-8 = 2x²-8x+8 = 2(x²-4x+4) = 2(x-2)²
c
A(x) est maximum pour x =-b/2a = -(-8) / 2(2) = 8/4 = 2