Bonsoir tout le monde ! Alors voila, j'ai un exercice en pièces jointes, qui me bloque totalement ! Si l'un de vous pouvais m'aider se serait gentil :) Et s'il

Bonjour Elisabeth28

Partie A

[tex]\varphi (x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}[/tex]

La droite d'équation y = 3 est asymptote à C au voisinage de l'infini.
[tex]\Longrightarrow \lim\limits_{x\to\pm\infty} \varphi (x)=3[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{ax^2}{x^2}=3[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty} a =3[/tex]

D'où  [tex]\boxed{a=3}[/tex]

[tex]\varphi (0)=3\\\\\dfrac{a\times0+b\times0+c}{0+1}=3[/tex]

[tex]\dfrac{c}{1}=3[/tex]

D'où  [tex]\boxed{c=3}[/tex]

Nous pouvons déjà écrire : [tex]\varphi (x)=\dfrac{3x^2+bx+3}{x^2+1}[/tex]

Or la courbe C passe par le point (-1 ;1)

[tex]\varphi (-1)=1\\\\\dfrac{3(-1)^2+b(-1)+3}{(-1)^2+1}=1[/tex]

[tex]\\\\\dfrac{3\times1-b+3}{1+1}=1\\\\\dfrac{6-b}{2}=1[/tex]

[tex]6-b=2\\\boxed{b=4}[/tex]

Par conséquent,
[tex]\boxed{\varphi (x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}} }[/tex]

Partie B

[tex]f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}[/tex]

[tex]1)\ f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}[/tex]

[tex]\\\\f(x)=\dfrac{3x^2+3+4x}{x^2+1}[/tex]

[tex]\\\\f(x)=\dfrac{3x^2+3}{x^2+1}+\dfrac{4x}{x^2+1}[/tex]

[tex]\\\\f(x)=\dfrac{3(x^2+1)}{x^2+1}+\dfrac{4x}{x^2+1}[/tex]

[tex]\boxed{f(x)=3+\dfrac{4x}{x^2+1}}[/tex]

[tex]2)\ f'(x)=(3+\dfrac{4x}{x^2+1})'[/tex]

[tex]f'(x)=0+\dfrac{4(x^2+1)-4x\times2x}{(x^2+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{4x^2+4-8x^2}{(x^2+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}[/tex]

[tex]f'(x)=\dfrac{4(1-x^2)}{(x^2+1)^2}[/tex]

(4>0) et ((x²+1)²>0) ==> le signe de la dérivée est le signe de (1-x²)

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&1&&+\infty \\ 1-x^2&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]

D'où le tableau complet de variation de f :

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&1&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ f(x)&3&\searrow&1&\nearrow&5&\searrow&3\\ \end{array}[/tex]

3) Etudier le signe de f(x)-3

[tex]f(x)=3+\dfrac{4x}{x^2+1}\Longrightarrow f(x)-3=\dfrac{4x}{x^2+1}[/tex]

(x²+1>0) ==> Le signe de f(x)-3 est le même que celui de 4x.

Si x<0, alors f(x)-3<0
Si x>0, alors f(x)-3>0

Par conséquent, 
Sur l'intervalle ]-oo ; 0[, la courbe C est en-dessous de l'asymptote horizontale.
Sur l'intervalle ]0;+00[, la courbe C est au-dessus de l'asymptote horizontale.

[tex]4)a)\ f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}+\dfrac{3(-x)^2+4(-x)+3}{(-x)^2+1}[/tex]

[tex]f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}+\dfrac{3x^2-4x+3}{x^2+1}[/tex]

[tex]f(x)+f(-x)=\dfrac{3x^2+4x+3+3x^2-4x+3}{x^2+1}[/tex]

[tex]f(x)+f(-x)=\dfrac{6x^2+6}{x^2+1}[/tex]

[tex]f(x)+f(-x)=\dfrac{6(x^2+1)}{x^2+1}[/tex]

[tex]f(x)+f(-x)=6[/tex]

[tex]\boxed{\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=3}[/tex]

b) On en déduit que les points M(x;f(x)) et M'(-x;f(-x)) sont symétriques par rapport au point I(0;3), soit que la courbe C est symétrique par rapport au point I(0;3)

[tex]5)\ g(x)=f(|x|)=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}[/tex]

[tex]a)\ \lim\limits_{x\to-\infty}|x|=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{|x|\to+\infty}f(|x|)=3[/tex]

D'où [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=3}[/tex]

b) On sait que |x| = x si x > 0.

Donc,

[tex]Si\ x\ \textgreater \ 0,\ \ alors\ g(x)=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}=f(x)[/tex]

Graphiquement, si x > 0, alors les courbes représentatives de f et de g sont identiques.

La fonction g est paire car g(-x) = g(x)
Donc la courbe représentative de g est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Nous pouvons donc tracer la courbe représentative de g si x<0 en construisant le symétrique de la partie de cette courbe construire sur l'ensemble [0: +oo[.

Graphiques en pièce jointe.