Bonsoir, donc voilà, je viens vous demander de l'aide pour un exercice de mathématiques, très important, donc il faut bien détailler pour que je comprenne ... J

Bonjour Maximedegrange

[tex]1)\ f(x)=0,25x^4-x^3+5x-1\\\\\boxed{f'(x)=x^3-3x^2+5}[/tex]

[tex]2)a)\ f'(x)=x^3-3x^2+5\\f''(x)=3x^2-6x\\\boxed{f''(x)=3x(x-2)}[/tex]

b) Tableau de signe de [tex]f''(x)[/tex] et variations de [tex]f'(x)[/tex]

Racines de [tex]f''(x)[/tex] : 3x=0 ==> x = 0
                                       x-2=0 ==> x = 2

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&0&&2&&+\infty \\ f''(x)=3x^2-6x&&+&0&-&0&+&\\f'(x)=x^3-3x^2+5&-\infty&\nearrow&5&\searrow&1&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]

c) La fonction [tex]f'[/tex] est strictement croissante sur l'intervalle ]-oo ; 0]
[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty\ \ et\ \ f'(0)=5\ \textgreater \ 0[/tex]

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une et une seule valeur [tex]\alpha\in\ ]-\infty\ ;\ 0][/tex]  telle que  [tex]f'(\alpha)=0[/tex]

De plus, le tableau de variations de f' montre que [tex]f'(x)\ \textgreater \ 0\ sur\ [0\ ;\ +\infty[[/tex]

Par conséquent, l'équation f'(x) = 0 admet une et une seule solution dans [tex]\mathbb{R}[/tex]

Nous avons montré que  [tex]\alpha\in\ ]-\infty\ ;\ 0][/tex].

Or

[tex]\left\{\begin{matrix}f'(-2)=-15\ \textless \ 0\\f'(-1)=1\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\Longrightarrow \exists\ \alpha\in[-2\ ;\ -1]:f'(\alpha)=0[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}f'(-1,2)=-1,048\\f'(-1,1)=0,039\ \textgreater \ 0 \end{matrix}\right.\Longrightarrow \exists\ \alpha\in[-1,2\ ;\ -1,1]:f'(\alpha)=0[/tex]

Par conséquent, une valeur approchée de [tex]\alpha[/tex] à 0,1 près est [tex]\boxed{\alpha\approx-1,1}[/tex]

d) De ce qui précède, on en déduit que f'(x) < 0 si x < -1,1
et que f'(x) > 0 si  x > -1,1.

e) Tableau de signe de f' et de variations de f

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1,1&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&+\infty&\searrow&-4,8&\nearrow&+\infty\\ \end{array}[/tex]

3) La fonction [tex]f[/tex] est strictement décroissante sur l'intervalle ]-oo ; -1,1]
[tex]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty\ \ et\ \ f(-1,1)=-4,8\ \textless \ 0[/tex]

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une et une seule valeur [tex]\beta_1\in\ ]-\infty\ ;\ -1,1][/tex]  telle que  [tex]f(\beta_1)=0[/tex]

La fonction [tex]f[/tex] est strictement croissante sur l'intervalle [-1,1 ; +oo[
[tex]f(-1,1)=-4,8\ \textless \ 0\ \ et\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/tex]

Selon le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une et une seule valeur[tex]\beta_2\in\ [-1,1\ ;\ +\infty[[/tex]  telle que  [tex]f(\beta_2)=0[/tex]

Par conséquent, l'équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions [tex]\beta_1\ et\ \beta_2[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}f(-2)=1\ \textgreater \ 0\\f(-1,9)=-0,382975\ \textless \ 0\end{matrix}\right.\Longrightarrow \exists\ \beta_1\in[-2\ ;\ -1,9]:f(\beta_1)=0[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}f(0,2)=-0,0076\ \textless \ 0\\f(0,3)=0,475025\ \textgreater \ 0\end{matrix}\right.\Longrightarrow \exists\ \beta_2\in[0,2\ ;\ 0,3]:f(\beta_2)=0[/tex]

Par conséquent, les valeurs approchées à 0,1 près des solutions de l'équation f(x) = 0 sont [tex]\boxed{\beta_1=-1,9\ \ et\ \ \beta_2=0,2}[/tex]