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Question

Bonjour,
J'ai cet exercice sur la récurrence dans un DM de 20 exercices.
Si vous pouvez m'aidez ce serait vraiment trés gentil, parce que j'ai des difficultés à le finir..
MErci d'avance, bonne journee
Bonjour, J'ai cet exercice sur la récurrence dans un DM de 20 exercices. Si vous pouvez m'aidez ce serait vraiment trés gentil, parce que j'ai des difficultés à

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1 Réponse

  • Bonjour,

    Soit P(n)=(1-1/2²)(1-1/3²)....(1-1/n²)
    P(2)=1-1/2²=(2²-1)/2²=(2-1)(2+1)/(2*2)=(2+1)/(2*2)=> P(2) est vraie.
    Supposons P(n) vraie et démontrons que P(n+1) est vraie.
    P(n)=(n+1)/(2*n) est vraie.
    P(n)*(1-1/(n+1)²)=(n+1)/ (2n) * ((n+1)²-1)/(n+1)²
    = (n+1)/(2n)* (n+1-1)(n+1+1)/(n+1)²= n*(n+2)/(2n *( n+1))=(n+2)/(2*(n+1))
    =((n+1)+1)/(2*(n+1))=P(n+1)

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