On a pgcd(504,729)=72 Determiner tous les couples d'entiers naturels (a,b) tels que 7(a-1)=11(b+2) Merci !

Bonjour,
1er cas
7(a-1) = 11(b+2) ⇔ 7/(b+2) = 11/(a-1)
Donc b+2 doit diviser 7 et a-1 doit diviser 11
Or, 7 et 11 sont premiers et n'admette de diviseur que 1 et eux-mêmes.
Donc on a:

b+2 = 1 ou b+2 = 7, or b+2 = 1 donne un entier relatif à exclure car b doit être un
entier naturel.
b+2 = 7 donne b=5

a-1 = 1 ou a-1 = 11 ⇒ a = 2 ou a = 12

a = 2 et b = 5 donnent 7(2-1) = 7 et 11(5+2) = 77 impossible
a = 12 et b = 5 donnent 7(12-1) = 11(5+2) = 77
Donc (a;b) = (12 ; 5) est une solution.

2ème cas
7(a-1) = 11(b+2) ⇔ (b+2)/7 = (a-1)/11
Donc b+2 doit être multiple de 7 et a-1 doit être multiple de 11.
b+2 doit être de la forme 7k, avec k∈N* ⇒ b+2 = 7k
a-1 doit être de la forme 11k' avec k'∈N* ⇒ a-1 = 11k'

On a donc
7(11k') = 11(7k)⇔77k = 77k'⇔k=k'
Le solutions (a;b) sont de la forme (11k+1 ; 7k-2) avec k∈N*